2017年考研數(shù)學(xué)定積分和多元函數(shù)微分解析及2018復(fù)習(xí)規(guī)劃

　　大家好，2017年考研數(shù)學(xué)已經(jīng)落下帷幕?？缈紨?shù)學(xué)教研室的向喆老師為大家做考點解析以及為2018年考試復(fù)習(xí)提供建議。

　　在2017年的考研數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)三的第九題考查的是對稱區(qū)間定積分問題，利用奇偶性就可以輕松解決;十五題考查的是變限積分求極限問題，要注意洛必達法則的應(yīng)用;十七題考查的是定積分定義求極限。數(shù)學(xué)二的第二題考查的是定積分的的性質(zhì)，比較定理;第十一題考查無窮限積分;十五題考查變限積分求極限，洛必達法則;十七題考查定積分定義。這些都是常規(guī)考法，而且難度不大。對于多元函數(shù)微分，數(shù)三第十二題考查全微分的理解，積分方法。數(shù)二第五題，一階偏導(dǎo)單調(diào)性問題;第十二題考查全微分的理解，積分方法的應(yīng)用;第十六題考查二元抽象函數(shù)的求偏導(dǎo)，對鏈式法則要求較高。

　　針對2017年對定積分和多元函數(shù)微分的考查方式，同學(xué)們在2018年考研備考中應(yīng)該注意下面問題：

　　1.明晰定積分知識體系

　　這章包括：定積分的定義，性質(zhì);微積分基本定理;反常積分;定積分的應(yīng)用。這四個部分各有側(cè)重點。其中定積分的定義是重點;要理解微積分基本定理;要掌握定積分在幾何和物理上面的應(yīng)用。至于反常積分大家了解就行了。

　　2.深刻理解知識點

　　首先是定積分的定義及性質(zhì)。同學(xué)們要理解分割，近似，求和，取極限這四個步驟。同時要知道其幾何意義及定義中需要注意的方面。對定積分定義的考察在每年考研中是必考內(nèi)容。所以希望引起大家的足夠重視。至于性質(zhì)，大家關(guān)鍵也在于理解。特別是區(qū)間可加性;比較定理;積分中值定理。然后是微積分基本定理。這個知識點非常重要。因為它定義了一種新的函數(shù)：積分上限函數(shù)。而且在一定的條件下，它的導(dǎo)數(shù)就是f(x)。所以我們擴展了函數(shù)類型。那么導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的切線與法線;單調(diào)性;極值;凹凸性等應(yīng)用就可以與積分上限函數(shù)聯(lián)系了。接著大家要注意變限積分求導(dǎo)了，最好請大家自己證明下。第三個要說的是反常積分。對這一部分，同學(xué)們了解基本定義，會用定積分判斷是否收斂就夠了。最后，是定積分的應(yīng)用。其實就是微元法在幾何以及物理上面的應(yīng)用。同樣的，同學(xué)們要知道數(shù)學(xué)一，數(shù)學(xué)二，數(shù)學(xué)三的區(qū)別。在幾何上，數(shù)學(xué)三只用掌握用定積分求面積和簡單幾何體的體積。而數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二還要求掌握用定積分求曲線弧長，旋轉(zhuǎn)曲面面積。在物理應(yīng)用方面，數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二主要掌握用定積分求變力沿直線做功，抽水做功，液太靜壓力和質(zhì)心問題。但核心是，同學(xué)們一定要掌握微元法的思想。

　　對于多元微分，深刻理解概念就是要說清楚多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)的區(qū)別以及大家需要注意的地方。那么，在多元函數(shù)微分學(xué)的知識體系中，最重要的就是對基本概念的理解。也就是要理解多元函數(shù)的極限，連續(xù)，可導(dǎo)與可微。重點是可導(dǎo)的概念。我以二元函數(shù)為例。二元函數(shù)有兩個變量，那么可導(dǎo)就是說的偏導(dǎo)數(shù)。至于可微的思想可以直接平移一元的。雖然有些變化，但是基本的形式是一樣的。最后，三者關(guān)系。這是相當重要的一個點。具體來說，可微可以推出可導(dǎo)和連續(xù)，而反之不成立。希望大家不僅要記住結(jié)論，還要知道為什么是這樣的關(guān)系。大家通過自己推一推就可以準確的把握這三個概念了。在大家深刻理解了這些概念后，后面的內(nèi)容就偏向計算了。

　　3.計算能力強

　　對于定積分，在大家理解了重點知識以及明確了考試重點后就需要做題鞏固了。大家先針對我說的重點知識進行做題鞏固，關(guān)鍵是每做一個題就要理解，要反思，要多想想考察了知識點那些方面。然后對次重點知識輔助做一些題，了解就夠了。

　　對于多元微分，這章考查的重點還是計算。計算實質(zhì)上就是多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用。它主要包括偏導(dǎo)數(shù)的計算;方向?qū)?shù)與梯度;二元函數(shù)極值(無條件與條件)。其實考查計算對大家來說是最容易的考法。因為大家只要懂方法就夠了，不用理解方法怎么來的。具體來說，計算偏導(dǎo)數(shù)，特別是高階偏導(dǎo)數(shù)，大家只要掌握了鏈式法則就夠了。同時掌握下高階導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)的條件。至于計算方向?qū)?shù)與梯度，大家就需要知道它的含義，然后記住兩個公式就行了。最后是二元函數(shù)的極值。它分為無條件極值和有條件極值。先說無條件極值。大家可以把它跟一元函數(shù)極值做個類比。這樣會學(xué)的輕松些。至于條件極值，大家只要會了拉格朗日乘數(shù)法就行了。所以，這章對大家的計算能力要求很高。大家一定要沉下心仔細體會方法，然后多做練習(xí)就夠了。

　　總之，通過對2017年考研真題的分析，希望大家為2018考試做好準備，學(xué)習(xí)好定積分和多元微分，為以后的高等數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)打好基礎(chǔ)。祝大家馬到成功!

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