2018考研數(shù)學(xué):線性代數(shù)基礎(chǔ)階段復(fù)習(xí)指導(dǎo)

最后更新時間:2017-06-19 14:06:33
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  暑期臨近,各科目的復(fù)習(xí)都已開始。線性代數(shù)是考研數(shù)學(xué)公共課必考的知識點,考研的同學(xué)都知道,這部分內(nèi)容特點是系統(tǒng),前后知識的聯(lián)系非常緊密,概念性很強(qiáng),對于抽象性與邏輯性有較高的要求,題型比較固定。那考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)基礎(chǔ)階段復(fù)習(xí)改如何進(jìn)行呢?以下從三方面講一講基礎(chǔ)階段如何復(fù)習(xí)好線性代數(shù)。

  一掌握基本概念,建立知識框架。

  1掌握基本概念

  在線代中,定義特別重要,定義往往是掌握原理的出發(fā)點的,例如線性相關(guān)無關(guān),矩陣的關(guān)系中等價,相似,合同等。把這些說法用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)格的表示出來就是定義,然后再分析相互之間有甚聯(lián)系??佳袛?shù)學(xué)中會出現(xiàn)一些考察說法的選擇題,這類題就是專撿那些易混淆部分來考的,命題人可謂是挖空心思,無孔不入,大家可以翻翻歷年真題看看就明白了。

  線性代數(shù)的概念很多,重要的概念有:代數(shù)余子式,伴隨矩陣,逆矩陣,初等變換與初等矩陣,正交變換與正交矩陣,秩(矩陣、向量組、二次型),等價(矩陣、向量組),線性組合與線性表出,線性相關(guān)與線性無關(guān),極大線性無關(guān)組,基礎(chǔ)解系與通解,解的結(jié)構(gòu)與解空間,特征值與特征向量,相似與相似對角化,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形,正定,合同變換與合同矩陣。

  2弄清聯(lián)系和區(qū)別

  線性代數(shù)內(nèi)容前后聯(lián)系緊密,相互滲透,各知識點之間有著千絲萬縷的聯(lián)系。因此解題方法靈活多變.記住知識點不是難事,但要把握好知識點的相互聯(lián)系,非得下一番功夫不可。首先要把握定理和公式成立的條件,一定要注意同時把某一知識點對應(yīng)的適用條件也掌握好!對知識點的掌握最好要掌握原理,而不僅僅是強(qiáng)記,個人覺得這兩者是結(jié)合起來的吧,能掌握原理的就掌握原理,如果實在不能在短時間內(nèi)掌握再強(qiáng)記。對于知識點涉及的定理等最好是自己給出證明,例如秩的相關(guān)結(jié)論的證明,這些證明往往非常簡單,幾行字就能解決問題,但對加深知識概念理解和基本方法運(yùn)用非常有用。

  再者要弄清知識點之間的縱橫聯(lián)系,這和高數(shù)的學(xué)習(xí)方法有很大不同,例如:等價、相似、合同之間相互有無關(guān)系?比如等價是否一定相似,相似是否一定合同,反過來呢?這些一定要搞清楚,不能一知半解。再如向量的線性表示與非齊次線性方程組解的討論之間的聯(lián)系;向量的線性相關(guān)(無關(guān))與齊次線性方程組有非零解(僅有零解)的討論之間的聯(lián)系;實對稱陣的對角化與實二次型化標(biāo)準(zhǔn)型之間的聯(lián)系等。另外還有容易混淆的地方,如矩陣的等價和向量組的等價之間的關(guān)系,線性相關(guān)與線性表示等。掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別,對大家做線性代數(shù)部分的大題也有很大的幫助。

  強(qiáng)烈建議大家在復(fù)習(xí)過程中自己多總結(jié),既要記得知識點,有要注意把某一知識點對應(yīng)的適用條件也掌握好,還要把握知識點之間的聯(lián)系和區(qū)別。只有同時把這幾方面把握住了,概念這一塊才算過關(guān),才算打好了基礎(chǔ)。

  3建立知識框架

  基礎(chǔ)階段線代要大概圍繞以下內(nèi)容建立知識框架,即線性方程組,向量,秩,矩陣運(yùn)算。建立知識框架,類似于圍棋中的布局,要想下好棋,大局觀非常重要,這在線性代數(shù)尤其重要.

  線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點:線性方程組,線代貫穿的主線就是求方程組的解,換言之,可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學(xué)科,不管是向量的線性相關(guān),線性表示,還是求特征向量,都是圍繞線性方程組。關(guān)于線性方程組的解,有三個問題值得討論:(1)、方程組是否有解,即解的存在性問題;(2)、方程組如何求解,有多少個解;(3)方程組有不止一個解時,這些不同的解之間有無內(nèi)在聯(lián)系,即解的結(jié)構(gòu)問題。

  線性方程組求解主要是高斯消元法,在利用求解的過程中涉及到一種重要的運(yùn)算,即把某一行的倍數(shù)加到另一行上,也就是說,為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項判斷它有沒有解,有多少解的問題,需要定義這樣的運(yùn)算,這提示我們可以把問題轉(zhuǎn)為直接研究這種對n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運(yùn)算,即向量。例如大家可以通過一些簡單例子體會線性相關(guān)和線性無關(guān)(零向量一定線性無關(guān)、單個非零向量線性無關(guān)、單位向量組線性無關(guān)等等)。也可以從多個角度(線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度)體會線性相關(guān)和線性無關(guān)的本質(zhì)。這部分內(nèi)容概念多,定理性質(zhì)也多,光憑記憶是很難掌握的。

  秩是一個非常深刻而重要的概念,就可以判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān),有了秩的概念以后,我們可以把線性相關(guān)的向量組用它的極大線性無關(guān)組來替換掉,從而得到線性方程組的有解的充分必要條件:若系數(shù)矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等,則有解,若不等,則無解。秩的靈活運(yùn)用,充分體現(xiàn)了線性代數(shù)重推理和抽象性強(qiáng)的特點,同學(xué)們在做題時要好好體會,因此有必要進(jìn)一步好好研究向量組的秩的計算方法。

  在研究線性方程組的解的過程當(dāng)中,同學(xué)們注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應(yīng)用,故還有必要對矩陣及其運(yùn)算進(jìn)行專門研究,建立這方面的知識框架。

  4做題鞏固

  初步掌握知識點以后要做什么?自然是用于解題了,做題一定要建立在完成知識點的總結(jié)的基礎(chǔ)上,不能光傻傻的看書,這樣你會一直沒有進(jìn)步,一定要拿起筆,書上寫得再好也還是編者老師的東西,只有自己總結(jié)的才是自己的。一定要完成指定習(xí)題,最好把鞏固習(xí)題也完成,做題會鞏固知識點,發(fā)現(xiàn)自己存在的問題,逐步提高自己的解題能力。最好將自己的總結(jié)筆記分成兩類,一類是知識點筆記,一類是題型思路歸納(題型研究是強(qiáng)化階段課程的主要內(nèi)容,但現(xiàn)在,同學(xué)們自己應(yīng)慢慢學(xué)會歸納),這樣一來反饋學(xué)習(xí)效果更明顯,思路更清晰。一定要加強(qiáng)訓(xùn)練,做題鞏固 ,并注重邏輯性與敘述表述。

  二熟練基本運(yùn)算,提高運(yùn)算能力。

  線性代數(shù)中運(yùn)算法則多,應(yīng)整理清楚不要混淆,基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān),重要的運(yùn)算有:行列式(數(shù)字型、抽象型)的計算,求逆矩陣,求矩陣的秩,求方陣的冪,求向量組的秩與極大線性無關(guān)組,線性相關(guān)的判定或求參數(shù),求基礎(chǔ)解系,求非齊次線性方程組的通解,求特征值與特征向量(定義法,特征多項式基礎(chǔ)解系法),判斷與求相似對角矩陣,用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。

  這里所說的運(yùn)算能力包括速度和準(zhǔn)確率兩個方面,同學(xué)們經(jīng)常有這樣的體會,一張數(shù)學(xué)卷子發(fā)下來,題目都會做,都有思路,但是一做起來就漏洞百出,總有地方出錯,結(jié)果時間自然不夠。歸根結(jié)底就是因為自己平時從來不練,看到一道題,先想思路,如果方法上沒有什么障礙的話就認(rèn)為不會有問題了,其實事實上如果真的動手去做很可能發(fā)現(xiàn)并非想象那么簡單。我的建議是:書后習(xí)題不用全做,只做老師計劃中指定的題即可。其實線代的運(yùn)算方式只有行列式、初等變換和矩陣的乘法這三種基本計算,一定要練到熟得不能再熟,基本不出錯的地步。運(yùn)算速度到后期顯得比較重要,因為沖刺階段都是要整張卷子的做,這時不僅要分配好各部分題目的時間,而且要確保能在預(yù)計的時間里完成相應(yīng)的任務(wù),否則會對個人的情緒產(chǎn)生影響。線代兩道大題,閱卷時發(fā)現(xiàn),很少有不會動筆的,但得滿分的卻不多。

  三綜合分析思維,方法靈活多變。

  由于考研數(shù)學(xué)的知識點涉及面很廣,而一張卷子能考查的覆蓋面是有限的,那很自然會在綜合要求上有所提高,大家經(jīng)常發(fā)現(xiàn) 線代的一道題可以覆蓋幾乎六章的內(nèi)容,而且可以用不同的方法解答。

  學(xué)好線代的最關(guān)鍵要點在于“見一反三”,即面對同一個數(shù)學(xué)事實,都要能夠從線性方程組、向量和矩陣三個角度來表述和理解它,以便于根據(jù)解決問題的需要選擇合適的切入點。所以在基礎(chǔ)階段后期大家可以在老師的指導(dǎo)下有意識地訓(xùn)練自己的綜合分析思維,并逐步選做一些綜合性的習(xí)題,這樣大家就會逐步掌握做題的思路、方法、技巧。

  相信大家通過以上階段的復(fù)習(xí),并不斷地歸納總結(jié),初步搞清知識點的內(nèi)在聯(lián)系,就能逐步使所學(xué)知識融會貫通,這就為強(qiáng)化階段的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ)。

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