2017考研數(shù)學(xué)：如何把握線性代數(shù)的復(fù)習(xí)

我曾問過不少考生這個(gè)問題：線性代數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是樹形結(jié)構(gòu)還是網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)?不少同學(xué)回答網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。考生首先應(yīng)該把考綱規(guī)定的每個(gè)考點(diǎn)掌握好，接下來完成“歸納題型，總結(jié)方法”的任務(wù)(可以自己把參考資料總結(jié)的方法消化吸收，也可以把老師講的方法消化吸收)，接下來就是形成體系和強(qiáng)化重難點(diǎn)了。  

如何形成體系呢?用核心的概念把相關(guān)的知識(shí)串起來是個(gè)不錯(cuò)的方法。比如n階矩陣A可逆有多少等價(jià)條件?從行列式的角度是A的行列式不等于0，從向量的角度是A的列向量組或行向量組線性無關(guān)，從線性方程組的角度是Ax=0僅有零解或Ax=b有唯一解，從秩的角度是r(A)=n，從特征值的角度是A的特征值不含0，從二次型的角度是A的轉(zhuǎn)置乘A正定。  

還有，要有尋根究底的精神。比如，我們討論下秩這個(gè)讓考生百感交集的概念。首先要搞清楚秩是什么?線性代數(shù)中有兩個(gè)秩：一個(gè)矩陣的秩，一個(gè)向量組的秩。矩陣的秩是矩陣非零子式的最高階數(shù)。一個(gè)矩陣的秩為k意味著什么?要會(huì)“翻譯”。“直接翻譯”的結(jié)論是矩陣非零子式的最高階數(shù)為k。只會(huì)“直接翻譯”還不足以應(yīng)對(duì)考題，還得會(huì)“間接翻譯”：該矩陣存在k階非零子式，并且該矩陣不存在k+1階非零子式。再進(jìn)一步思考：前半句話用秩的語(yǔ)言怎么描述?應(yīng)為r(A)>=k;后半句話用秩的語(yǔ)言怎么描述?應(yīng)為r(A)<=k。再思考：該矩陣不存在k+1階非零子式包含幾種情況?應(yīng)有兩種情況：1)矩陣存在k+1階子式，但k+1階子式全為0;2)矩陣不存在k+1階子式(如矩陣是k階方陣)。這樣關(guān)于矩陣的秩的概念才理解到位了，但還需多做題才能達(dá)到熟練。  

類似地，我們可以對(duì)“向量組的秩”這個(gè)概念做層層剖析。首先，向量組的秩是向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)。什么是極大線性無關(guān)組?顧名思義即個(gè)數(shù)最多的線性無關(guān)的子向量組。但是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義必不可少。這個(gè)地方提到一個(gè)問題：有同學(xué)對(duì)于比較抽象的概念比較頭疼，試圖拋開嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述，而通過舉例子等方式理解，這樣可以嗎?不行。舉例子確實(shí)有助于理解，但代替不了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述。其實(shí)，定義理解好了，方法就是自然而然的了。考生可以思考相關(guān)問題：如極大無關(guān)組是否唯一?如果不唯一，那它們是什么關(guān)系?  

還可以繼續(xù)思考矩陣的秩和向量組的秩的關(guān)系。任給一個(gè)矩陣A，矩陣可以按列分塊，也可以按行分塊，這樣我們可以得到三個(gè)秩——矩陣的秩，矩陣的列向量組的秩和矩陣的行向量組的秩。這三個(gè)秩是什么關(guān)系?結(jié)論是相等。這個(gè)結(jié)論不需要證明，會(huì)用即可。  

看完了這些學(xué)習(xí)線性代數(shù)的方法，大家是不是對(duì)線性代數(shù)的復(fù)習(xí)充滿了信心呢？其實(shí)，每一門學(xué)科的學(xué)習(xí)都需要恰當(dāng)?shù)姆绞椒椒?，不能一條路走到黑，需要大家有隨機(jī)應(yīng)變的能力，不能盲目學(xué)習(xí)，只要找對(duì)了復(fù)習(xí)方法，那復(fù)習(xí)起來就事半功倍了。