數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 提高分析、解決問題能力

　　概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為考研數(shù)學(xué)中的重要科目，它的比重大約占到22%左右。如今，考研數(shù)學(xué)中關(guān)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的出題重點(diǎn)主要是考查考生對(duì)研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的基本概念、基本理論和基本方法的理解，以及運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法分析和解決實(shí)際問題的能力。由于該課程所研究的對(duì)象比較特殊，所以在學(xué)習(xí)方法上與其他數(shù)學(xué)課程有所不同。專家根據(jù)本課程的特點(diǎn)，結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了一些該課程的學(xué)習(xí)方法，供考生復(fù)習(xí)參考。》》考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)

　　一、注重基本概念的理解

　　1.深刻理解、牢固掌握基本概念

　　深刻理解、牢固掌握基本概念是學(xué)好概率的基礎(chǔ)。很多學(xué)生剛接觸這門課程時(shí)，對(duì)一些基本概念不能很好的去理解。特別是一些關(guān)鍵概念，必須經(jīng)過多次反復(fù)，逐步加深，以達(dá)到最終理解并熟練掌握。若對(duì)基本概念理解不清，時(shí)間長(zhǎng)了勢(shì)必會(huì)影響到學(xué)生學(xué)習(xí)的信心。如，概率的定義。由直觀描述“隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小”到“頻率的穩(wěn)定值”，再到“概率”的古典定義，是逐步對(duì)“概率”認(rèn)識(shí)加深的過程。歷史上曾三次給出了概率的定義：古典定義、統(tǒng)計(jì)定義、公理化定義。其中，統(tǒng)計(jì)定義是基于頻率來定義的。它是大量獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率的穩(wěn)定值。這種定義的重要性在于它提供了估計(jì)概率的方法。另外，還有隨機(jī)變量、總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量等概念也要深刻理解，牢固掌握。

　　2.搞清概念的內(nèi)涵，注意容易混淆的概念之間的區(qū)別

　　在概率論中對(duì)一些概念的內(nèi)涵我們要搞清楚。例如，“隨機(jī)變量”這個(gè)概念的內(nèi)涵是什么?它不同于普通意義下的變量，是由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果所決定的，試驗(yàn)前無法預(yù)知取何值，但其取值的可能性大小有確定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。我們只有理解了隨機(jī)變量的內(nèi)涵，才能真正理解分布函數(shù)等概念。還有許多概念容易混淆，如果不能正確理解這些概念，那在應(yīng)用時(shí)就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。如：事件的互不相容與相互獨(dú)立?！盎ゲ幌嗳荨笔侵竷蓚€(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生(事件的運(yùn)算性質(zhì))。而“相互獨(dú)立”則是指一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒有影響(事件的概率性質(zhì))。還有，隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算與事件的概率的運(yùn)算，隨機(jī)變量的獨(dú)立和不相關(guān)，無條件概率與條件概率等等。

　　二、概率論部分掌握常見的概率模型及常見的分布

　　在概率論中有許多經(jīng)長(zhǎng)期實(shí)踐概括出的概率模型(簡(jiǎn)稱“概型”)，以及一些常見的分布，要熟記計(jì)算公式，以便能正確應(yīng)用。常見“概型”，如：古典(等可能)概型(一類具有有限個(gè)“等可能”發(fā)生的基本事件的概率模型);伯努利試驗(yàn)概型(是關(guān)于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)序列的一類重要的概率模型，其特點(diǎn)是各個(gè)重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立進(jìn)行的，且每次試驗(yàn)中僅有兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果)。常見的隨機(jī)變量的分布，如：Poisson分布(到某商店去購(gòu)物的顧客人數(shù);放射性物質(zhì)放出的粒子數(shù);一本書某頁中的印刷錯(cuò)誤數(shù)等都服從Poisson分布);正態(tài)分布(最重要的概率模型：人體的身高、體重，測(cè)量的誤差，學(xué)生考試成績(jī)，農(nóng)作物的產(chǎn)量等都服從正態(tài)分布);指數(shù)分布(隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間;某元件的壽命;動(dòng)物的壽命等都服從指數(shù)分布)。

　　除此以外，還有0—1分布，均勻分布，隨機(jī)變量的函數(shù)等模型，此處不再贅述。

　　三、數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分領(lǐng)會(huì)統(tǒng)計(jì)思想，熟練掌握解題步驟

　　由于數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)用性極強(qiáng)，因此對(duì)于這部分的學(xué)習(xí)我們要領(lǐng)會(huì)其中的統(tǒng)計(jì)思想，搞清統(tǒng)計(jì)意義。統(tǒng)計(jì)學(xué)分為兩大類：描述統(tǒng)計(jì)學(xué)和推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)。推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)研究?jī)纱髥栴}：參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。

　　例如，統(tǒng)計(jì)推斷中對(duì)未知參數(shù)給出估計(jì)值，或以一定的概率推斷參數(shù)所在區(qū)間的一種統(tǒng)計(jì)方法——參數(shù)估計(jì)。在參數(shù)估計(jì)中，最大似然估計(jì)法的主要統(tǒng)計(jì)思想是：一次試驗(yàn)就出現(xiàn)的事件有較大的概率。具體操作時(shí)，先求出似然函數(shù)，再應(yīng)用微積分的相關(guān)知識(shí)找出最大值點(diǎn)，即得最大似然估計(jì)量。再如，統(tǒng)計(jì)推斷中另一類重要問題——假設(shè)檢驗(yàn)。它與參數(shù)估計(jì)一樣，也是利用樣本信息對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行推斷，只不過是根據(jù)樣本的特征去檢驗(yàn)對(duì)總體參數(shù)所作的猜測(cè)(也就是假設(shè))。如果證實(shí)對(duì)總體參數(shù)所作的事前假設(shè)是正確的，則采納這個(gè)假設(shè);否則，拒絕假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)依據(jù)的原理是小概率原理，它采用“反證”的推理方法。

　　四、熟記重要公式、結(jié)論;多做練習(xí)，加強(qiáng)運(yùn)算基本功

　　本課程有很多重要的公式、結(jié)論，必須熟記。記住這些公式一方面提高我們的解題速度，另一方面可以幫助我們復(fù)習(xí)提高。

　　除了記住一些重要公式、結(jié)論外，我們還需要做大量的習(xí)題。數(shù)學(xué)課程不同于其他課程，只看書而不做題是很難真正掌握好的。通常是，看書時(shí)明白了，當(dāng)要做題時(shí)卻又無從下手。尤其本課程很多概念較抽象，再加上有一些特殊的計(jì)算方法，因此我們必須做一些習(xí)題，以便幫助我們加深對(duì)概念的理解，對(duì)方法本質(zhì)的掌握。學(xué)數(shù)學(xué)不做題，就如同到了金山卻帶不帶金子一樣。課本上的一些典型、例題尤其是思想方法我們一定要重視。

　　五、注意專用術(shù)語和符號(hào)的規(guī)范使用

　　在本課程的以往教學(xué)過程中，專家發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)一些專用術(shù)語和符號(hào)使用不規(guī)范，導(dǎo)致一些錯(cuò)誤。如，所計(jì)算出的概率是負(fù)值或大于1，相關(guān)系數(shù)大于1等;對(duì)于 “至少”、“至多”等概率論專用語言不理解，從而不能正確表達(dá)事件;計(jì)算概率時(shí)，對(duì)事件不事先設(shè)定(盡管初學(xué)者常對(duì)“作設(shè)”感到困難，但“設(shè)字母表示事件”是對(duì)試驗(yàn)、事件進(jìn)行分析的基礎(chǔ),有了“字母表示的事件”，套用公式，計(jì)算概率就方便多了);正態(tài)分布計(jì)算中對(duì)一般的正態(tài)變量不作 “標(biāo)準(zhǔn)化變換”;關(guān)于事件或隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定或證明更是錯(cuò)誤百出，答非所問。特別是數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分，極易在不理解統(tǒng)計(jì)思想的前提下，生搬硬套現(xiàn)成的步驟，亂答一通。

　　考研復(fù)習(xí)中沒有捷徑可走，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》復(fù)習(xí)也是如此。但是，只要我們掌握了一定的復(fù)習(xí)要領(lǐng)及核心，也是有能力學(xué)好這門課程的。

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