2017考研數學：高數定理證明之積分中值定理

　　關鍵詞：2017考研數學大綱|2017考研數學定理|2017考研數學復習

　　考研數學有四大重要定理證明需要大家熟練掌握，它們是微分中值定理的證明、求導公式的證明、積分中值定理和微積分基本定理的證明，下文我們來看的是微分中值定理的證明。>>>更多考研常識，猛戳這里

　　該定理條件是定積分的被積函數在積分區(qū)間(閉區(qū)間)上連續(xù)，結論可以形式地記成該定積分等于把被積函數拎到積分號外面，并把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學想到用微分中值定理，理由是微分相關定理的結論中含有中值?？梢园凑沾怂悸吠路治觯贿^更易理解的思路是考慮連續(xù)相關定理(介值定理和零點存在定理)，理由更充分些：上述兩個連續(xù)相關定理的結論中不但含有中值而且不含導數，而待證的積分中值定理的結論也是含有中值但不含導數。

　　若我們選擇了用連續(xù)相關定理去證，那么到底選擇哪個定理呢?這里有個小的技巧——看中值是位于閉區(qū)間還是開區(qū)間。介值定理和零點存在定理的結論中的中值分別位于閉區(qū)間和開區(qū)間，而待證的積分中值定理的結論中的中值位于閉區(qū)間。那么何去何從，已經不言自明了。 >>>推薦閱讀：2017考研數學大綱變化情況匯總

　　若順利選中了介值定理，那么往下如何推理呢?我們可以對比一下介值定理和積分中值定理的結論：介值定理的結論的等式一邊為某點處的函數值，而等號另一邊為常數A。我們自然想到把積分中值定理的結論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區(qū)間長度，就能達到我們的要求。當然，變形后等號一側含有積分的式子的長相還是挺有迷惑性的，要透過現象看本質，看清楚定積分的值是一個數，進而定積分除以區(qū)間長度后仍為一個數。這個數就相當于介值定理結論中的A。

　　接下來如何推理，這就考察各位對介值定理的熟悉程度了。該定理條件有二：1.函數在閉區(qū)間連續(xù)，2.實數A位于函數在閉區(qū)間上的最大值和最小值之間，結論是該實數能被取到(即A為閉區(qū)間上某點的函數值)。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數的連續(xù)性不難判斷，僅需說明定積分除以區(qū)間長度這個實數位于函數的最大值和最小值之間即可。而要考察一個定積分的值的范圍，不難想到比較定理(或估值定理)。