2017考研數(shù)學(xué)考試分析之高頻大題(上)

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考研數(shù)學(xué)的考點(diǎn)較分散，所以提醒考生打牢基礎(chǔ)，作全面的復(fù)習(xí)。在此基礎(chǔ)上，那些考研真題中高頻必考題型，考生須給予重視。本文是跨考教育數(shù)學(xué)教研室為考生揭開考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中那些高頻必考大題的神秘面紗。

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一、極限計(jì)算

整張?jiān)嚲砉?3題，其中第15題幾乎是極限計(jì)算大題的代名詞。極限計(jì)算有8種武器，分別為：四則運(yùn)算法則、等價(jià)無窮小替換、洛必達(dá)法則、冪指型函數(shù)的處理、單側(cè)極限、夾逼定理、單調(diào)有界必有極限原理和泰勒公式。

考生在基礎(chǔ)階段要把前5種武器掌握好：內(nèi)容是什么弄清楚，會(huì)應(yīng)用。后3種武器較難把握，我們可以分階段啃下這幾個(gè)硬骨頭?；A(chǔ)階段弄清定理內(nèi)容，會(huì)做基本題目。

對(duì)于夾逼定理，內(nèi)容方面，考生要知曉它有數(shù)列和函數(shù)兩種形式。每種形式條件是什么，結(jié)論是什么要理解。以數(shù)列形式為例，條件是一個(gè)數(shù)列夾在另兩個(gè)數(shù)列之間(bn<= an<= cn, 只要n充分大時(shí)成立即可，因?yàn)榭紤]的是極限)，且有n趨于無窮時(shí)，兩邊的數(shù)列收斂到相同的數(shù)，結(jié)論是夾在中間的數(shù)列極限存在且極限值也為相同的數(shù)。應(yīng)用方面，要熟悉夾逼定理推出的一個(gè)結(jié)論：無窮小乘有界量等于無窮小。會(huì)用夾逼定理計(jì)算一種長(zhǎng)得很有型的數(shù)列的極限——n項(xiàng)分母互不相同的分式的和的極限。

對(duì)于單調(diào)有界必有極限原理，內(nèi)容不難理解。應(yīng)用方面，可以處理另一種長(zhǎng)得很有型的數(shù)列的極限問題——遞推式數(shù)列的極限的存在性問題中的簡(jiǎn)單題;也可以到了強(qiáng)化階段再全面處理這種題。

泰勒公式可以說是算極限的最強(qiáng)大的武器。萬物對(duì)立統(tǒng)一，這么強(qiáng)大的武器理解和運(yùn)用起來自然會(huì)有些難度。基礎(chǔ)階段，要理解泰勒公式有兩種形式——帶皮亞諾余項(xiàng)的公式和帶拉格朗日余項(xiàng)的公式，前者用來算極限，后者用來證明。算極限，需要記憶常見函數(shù)的泰勒公式。

二、中值相關(guān)證明

中值相關(guān)證明是考研數(shù)學(xué)公認(rèn)的難點(diǎn)，考生得分率在30%以下。該部分內(nèi)容比較豐富，包括費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理?；A(chǔ)階段，要求考生對(duì)上述定理的內(nèi)容能完整表述，前四個(gè)定理會(huì)證明。

在基礎(chǔ)階段提出“會(huì)證”的要求并不過分，理由有三：1. 2015年真題考到了乘積的導(dǎo)數(shù)公式的證明，這提醒考生教材中的重要定理要會(huì)證;2. 2009年數(shù)一、二、三考了拉格朗日中值定理的證明3. 教材中原定理的證明中蘊(yùn)含中證明其它結(jié)論的思想。

三、多元極值

多元極值問題分成兩個(gè)子問題：無條件極值和條件極值。

1. 無條件極值

此類問題的表述為：求某二元函數(shù)f(x，y)的極值(或最值)。處理思路為利用多元函數(shù)極值的必要條件和充分條件。通過必要條件找出可能的極值點(diǎn)(駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn))，利用充分條件一一判斷。這部分考點(diǎn)及處理方式可以看成一元函數(shù)極值問題的考點(diǎn)及處理方式的自然推廣。

2. 條件極值

此類問題的表述為：求某二元函數(shù)f(x，y)在約束條件g(x，y)=0下的極值(或最值)。處理思路為拉格朗日乘數(shù)法。

四、二重積分

二重積分幾乎是數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三的必考內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)一同學(xué)學(xué)習(xí)多元積分的基礎(chǔ)。二重積分比較關(guān)鍵的是計(jì)算步驟。拿到一個(gè)二重積分，第一步應(yīng)檢驗(yàn)奇偶對(duì)稱性。有同學(xué)可能由于想不到或急于求成，未用對(duì)稱性化簡(jiǎn)，結(jié)果徒增運(yùn)算量，增大出錯(cuò)的概率。第二步應(yīng)選擇坐標(biāo)系。只需搞清何時(shí)選擇極坐標(biāo)系，其余情況選擇直角坐標(biāo)系既可。二重積分有兩個(gè)要素——積分區(qū)域和被積函數(shù)，所以計(jì)算過程中涉及到選擇的時(shí)候要一看積分區(qū)域，二看被積函數(shù)。積分區(qū)域若為圓域或部分圓域，或者區(qū)域的邊界的極坐標(biāo)方程較直角坐標(biāo)方程簡(jiǎn)單，則選極坐標(biāo)系，若被積函數(shù)為“f(x^2+ y^2)”的形式，也選極坐標(biāo)系。

若選擇了極坐標(biāo)系，那接下來干什么?要選擇積分次序嗎?不用選，肯定是先對(duì)r積分后對(duì)角度積分，另一種次序的積分幾乎沒出現(xiàn)過。再往后就是定限了。極坐標(biāo)系下定限可以簡(jiǎn)單概括為：從原點(diǎn)出發(fā)畫一條射線穿過積分區(qū)域，與積分區(qū)域的邊界有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)的r坐標(biāo)即為第一次積分的積分上下限(把交點(diǎn)的r坐標(biāo)用角度表示)。接下來，讓剛才畫的這條射線繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直到與積分區(qū)域的邊界相切，這兩條切線對(duì)應(yīng)的角度即為第二次積分的積分上下限。

若選擇了直角坐標(biāo)系，那接下來要選擇積分次序。又涉及到選擇了，當(dāng)然是一看積分區(qū)域，二看被積函數(shù)。看積分區(qū)域的原則是避免分類討論，看被積函數(shù)的原則是讓第一次積分簡(jiǎn)單。次序選完后，就進(jìn)入到收官階段——定限了。直角坐標(biāo)系下定限可以簡(jiǎn)單概括為：先對(duì)誰積分就畫一條平行于哪個(gè)坐標(biāo)軸的直線，穿過積分區(qū)域，與積分區(qū)域的邊界有兩個(gè)交點(diǎn)。這兩個(gè)交點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著第一次積分的積分上下限。接下來，讓剛才畫的這條直線平行移動(dòng)，直到與積分區(qū)域的邊界相切。這兩條切線就對(duì)應(yīng)著第二次積分的積分上下限。

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