2017考研數(shù)學：數(shù)項級數(shù)的學習要點

級數(shù)部分從大的方面來分的話主要考察數(shù)項級數(shù)及函數(shù)項級數(shù)，數(shù)項級數(shù)部分主要考察級數(shù)的斂散性，函數(shù)項級數(shù)部分涉及到求和及展開，數(shù)三的同學考察冪級數(shù)，數(shù)一的同學還考察傅里葉級數(shù)，數(shù)二的同學不考察級數(shù)。

數(shù)項級數(shù)，顧名思義就是級數(shù)的一般項為數(shù)，數(shù)項級數(shù)大體分為兩類考察，一類是正項級數(shù)，一般項均為正數(shù);一類是一般項級數(shù)，一般項是可正可負的數(shù)，其中特殊的是交錯級數(shù)，一般項由正負交叉的數(shù)構成。每個類型的級數(shù)都有相應的判別斂散的方法。

正項級數(shù)是考察重點，數(shù)一、三的同學均以考察級數(shù)斂散的判別法為主，但出題的側重點又有所區(qū)別，數(shù)三的同學以選擇、填空小題為主，數(shù)一的同學除了考察小題以外，還會以判別法，主要是比較審斂法為主考察大題，總之，數(shù)一的同學要求更高一些。正項級數(shù)審斂法主要有：比較審斂法(常需要借助p級數(shù))、比值審斂法(級數(shù)自身前后項相較，適用于一般項含階乘的正項級數(shù))及根值審斂法(級數(shù)自身前后項相較，適用于一般項含n次冪的正項級數(shù))?？偟脕碚f，比較審斂法體現(xiàn)了借助已知斂散性的級數(shù)判別未知，比值及根值審斂法主要是自己的事情自己做，自力更生。

一般項級數(shù)判斂需要遵循一定的步驟進行。首先，計算一般項的極限，如果一般項的極限不為0，那么本級數(shù)必發(fā)散;如果一般項極限為0，只能說明級數(shù)有收斂的可能性，但不能立即判斂(反例：調和級數(shù))，那么需要進一步判定，如何判定呢?需要將級數(shù)的一般項加絕對值，這樣一個一般項級數(shù)就變?yōu)檎椉墧?shù)，即可由正項級數(shù)判斂的三個方法判斂，如果收斂，則此時級數(shù)收斂，且稱為絕對收斂，如果發(fā)散，則需要去掉絕對值，看一般項級數(shù)本身的斂散性;如何判別一般項級數(shù)的斂散呢?此時有兩個走向，一是看級數(shù)是否為交錯級數(shù)，如果是交錯級數(shù)，則用萊布尼茲條件判斂，收斂，則稱級數(shù)為條件收斂;若雖是交錯級數(shù)卻不滿足萊布尼茲條件，或級數(shù)是一般項級數(shù)但并非交錯級數(shù)，那么一般需考慮定義法判斂，所謂定義法，就是先計算級數(shù)的前n項和，然后前n項和取極限，若極限存在，則級數(shù)收斂，若極限不存在，則級數(shù)發(fā)散。

當然，除了以上介紹的審斂法以外，我們還需熟練掌握級數(shù)的一些性質(比如：收斂+收斂=收斂、增加或去掉或改變級數(shù)的有限項不影響級數(shù)的斂散性等)來判別。希望同學們在學習過程中多注意這些性質的運用。