2014年考研數(shù)學(xué)備考指導(dǎo)之函數(shù)_跨考網(wǎng)

　　經(jīng)常有考生捧著某些考研輔導(dǎo)書來問間斷函數(shù)是否有原函數(shù)這樣類似的問題。

　　我的回答是“可積函數(shù)的原函數(shù)為什么一定是個連續(xù)函數(shù)?”是個偽命題，我的回答，首先是這個問題的前提錯了：“可積函數(shù)并不一定有原函數(shù)”。所以根本不可能有“可積函數(shù)的原函數(shù)一定是個連續(xù)函數(shù)”這樣的結(jié)論，這是某些考研輔導(dǎo)專家是在嚴(yán)重誤導(dǎo)。

　　函數(shù)“可積”并不是有“原函數(shù)”的充分條件，只有函數(shù)“連續(xù)”才是有“原函數(shù)”的充分條件(并不是必要條件)。所以說函數(shù)“連續(xù)”并不是有“原函數(shù)”的必要條件，因為確實可以舉出“不連續(xù)的函數(shù)也是可能會有原函數(shù)”的經(jīng)典反例的(見附注)，但這已經(jīng)有點偏離考綱了。

　　原函數(shù)的概念與導(dǎo)函數(shù)的概念是“互逆”的“伴隨概念”，根據(jù)達(dá)布定理“可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)只可能有振蕩間斷點”的結(jié)論，可支持我的觀點“可積函數(shù)并不一定有原函數(shù)”。

　　歸根結(jié)底，是因為可積函數(shù)可能有第一類間斷點(可去間斷點或跳躍間斷點)，這是就必定沒有原函數(shù)。

　　“可積”的概念是對有限區(qū)間上的“定積分”而言的，沒有“可積函數(shù)的''不‘定積分”問題，一般考研輔導(dǎo)書上的關(guān)于“對于分段函數(shù)，每一段(不定)積分后，都有個常數(shù)，那最后積分結(jié)果的常數(shù)怎么確定?”也是一個偽問題。

　　因為這要看這個函數(shù)(總體)是不是連續(xù)?

　　即使分段連續(xù)，如果總體不連續(xù)(實際上就是分段點處不連續(xù))，那么就談不上原函數(shù)和不定積分，也更談不上常數(shù)應(yīng)該如何確定了。

　　至于總體連續(xù)的分段函數(shù)，是有一個“不定積分問題中常數(shù)的處理”問題。對此，在本博客曾經(jīng)多次討論過，請閱讀我2007年7月2日寫的“關(guān)于分段函數(shù)的不定積分”。

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