2015考研數(shù)學(xué)復(fù)習:尋根問底之秩篇(二)
尋根究底之秩篇(二)
——是什么,為什么,怎么用
劉緯宇——數(shù)學(xué)教研室
下面我們繼續(xù)挖掘矩陣的秩的內(nèi)涵。
一個矩陣的秩為2意味著什么?按照矩陣的秩的定義,我們可以得到該矩陣中非零子式的最高階數(shù)為2。當然這是“直譯”,有沒有“意譯”(或更利于解題的翻譯方式)?有??梢赃@么翻譯:該矩陣中存在2階非零子式,且不存在3階非零子式。前半句話怎么理解?這不就是“直譯”的那句話的自然結(jié)果嗎?或者反過來理解:試想,如果若這半句話不成立,即矩陣中不存在2階非零子式,那矩陣中非零子式的最高階數(shù)就不可能為2了(應(yīng)小于或等于1),這與已知條件矛盾。那么,根據(jù)前面的分析,這半句話等價于矩陣的秩大于等于2。類似的討論可以對后半句話進行。不難得到這半句話等價于矩陣的小于等于2。這里有兩個個問題:矩陣不存在3階非零子式有幾種情況呢?不難發(fā)現(xiàn)有兩種:(1)矩陣沒有3階子式(跟別談3階非零子式了,如一個2乘2的矩陣);(2)矩陣有3階子式,但3階子式全為零。另一個問題,如果矩陣不存在3階非零子式,那么有可能存在4階及以上階的非零子式嗎?如果你對行列式的展開定理比較熟悉,應(yīng)該不難得出答案。
推廣一下,我們就得到了一般情況:
矩陣的秩為k等價于矩陣中非零子式的最高階數(shù)為k,也等價于矩陣中存在k階非零子式,且不存在k+1階非零子式。
還有兩個特殊情況需要我們注意:
矩陣的秩為1等價于矩陣中存在1階非零子式,且不存在2階非零子式。思考:什么是1階子式?不就是矩陣的元素嗎?那么1階非零子式就是非零元素了。進一步,矩陣中存在1階非零子式也即矩陣中存在非零元素。這有說明了什么呢?這說明矩陣不是零矩陣。再分析后半句話,2階子式為零意味著什么?大家可以自己舉個例子,是不是說明二階行列式的元素按行按列成比例(這里的成比例是廣義的,比如二階行列式有一行元素為零,那0除0理解成可以等于任何數(shù))。進一步所有二階子式全為零說明什么,是不是說明整個矩陣是按行按列成比例的?分析至此,秩為1的矩陣長什么樣子大家應(yīng)該有個印象了:存在非零元素,且按行按列成比例。
n階方陣的秩為n等價于其自身取行列式后不為零。這個大家自己分析,應(yīng)該不困難。這種情況矩陣的秩達到了最大值,秩是滿的,我們稱該矩陣滿秩。
二、向量組的秩
要討論向量組的秩,先要搞清楚什么是向量。其實咱們在中學(xué)就討論過向量。中學(xué)數(shù)學(xué)對向量的定義是既有大小又有方向的量。中學(xué)物理中把向量稱為矢量。那么線性代數(shù)中討論的向量與中學(xué)接觸過的向量是什么關(guān)系?
首先回顧一下,在中學(xué)我們是如何表示向量的。中學(xué)數(shù)學(xué)中主要討論平面上的向量。平面上的向量是可以平行移動的。兩個相互平行且長度相等的向量我們認為是相等的。好,假設(shè)在平面直角坐標系中,對于平面上的任何一個向量,我們總是可以將其平移至起點坐標原點重合。這時向量終點的坐標同時也是向量的坐標。這樣,我們就可以用一個實數(shù)對表示一個平面向量了。
一個實數(shù)對實際是我們線性代數(shù)中的一個二維行向量。而線代中討論的向量是任意n維的。所以線性代數(shù)中的向量可視為中學(xué)向量的推廣。
下面是向量的數(shù)學(xué)定義:
由n個實數(shù)a1,a2,…,an構(gòu)成的有序?qū)崝?shù)組(a1,a2,…,an)稱為一個n維行向量。類似可定義列向量。
問個問題:向量和矩陣是什么關(guān)系?向量可視為特殊的矩陣(行數(shù)或列數(shù)為1的矩陣)。這是理解向量的一個很好的角度。因為學(xué)習向量時,我們已把矩陣討論得很清楚了,所以通過矩陣理解向量就能省不少事。
知道了什么是向量,那什么是向量組呢?向量一般來說不是單獨出現(xiàn),而是成組出現(xiàn)的。我們把多個向量放在一起考慮,就構(gòu)成了向量組。
當然向量組的嚴格數(shù)學(xué)定義也不難理解:由若干個同型向量構(gòu)成的集合稱為一個向量組。這里的“同型”可以理解成矩陣同型,也可以用向量的語言描述成:同為行向量或列向量且維數(shù)相同。
(待續(xù))
以上就是跨考考研網(wǎng)為大家整理的2015考研數(shù)學(xué)復(fù)習尋根問底系列,未完待續(xù),大家跟著老師復(fù)習,考研數(shù)學(xué)就沒有那么可怕了,相信你們一定能拿下2015考研!
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