線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（四）_跨考網(wǎng)

在之前研究線性方程組的解的過(guò)程當(dāng)中，注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應(yīng)用，故還有必要對(duì)矩陣及其運(yùn)算進(jìn)行專門(mén)探討。

　　矩陣的加法和數(shù)乘，與向量的運(yùn)算類同。

　　矩陣的另外一個(gè)重要應(yīng)用：線性變換（最典型例子是旋轉(zhuǎn)變換）。即可以把一個(gè)矩陣看作是一種線性變換在數(shù)學(xué)上的表述。

　　矩陣的乘法，反映的是線性變換的疊加。如矩陣A對(duì)應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a，矩陣B對(duì)應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度b，則矩陣AB對(duì)應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a+b。

　　矩陣乘法的特點(diǎn)：若C=AB，則C的第i行、第j列的元素是A的第i行與B的第j列的元素對(duì)應(yīng)乘積之和；A的列數(shù)要和B的行數(shù)相同；C的行數(shù)是A的行數(shù)，列數(shù)是B的列數(shù)。需要主義的是矩陣乘法不滿足交換律，滿足結(jié)合律。

　　利用矩陣乘積的寫(xiě)法，線性方程組可更簡(jiǎn)單的表示為：Ax=b。

　 　對(duì)于C=AB，還可作如下分析：將左邊的矩陣A寫(xiě)成列向量組的形式，即意味著C的列向量組能由A的列向量組表示，從而推知C的列秩小于等于A的列秩；將 右邊的矩陣B寫(xiě)成行向量組的形式，即意味著C的行向量組能由B的行向量組表示，從而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考慮到矩陣的行秩等于列秩等于矩陣的 秩，最終可得到結(jié)論，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩，即矩陣乘積的秩總不超過(guò)任一個(gè)因子的秩。

　　關(guān)于矩陣乘積的另外一個(gè)重要結(jié)論：矩陣乘積的行列式等于各因子的行列式的乘積。

　　一些特殊的矩陣：?jiǎn)挝魂?、?duì)角陣、初等矩陣。尤其要注意，初等矩陣是單位陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣。

　　每一個(gè)初等矩陣對(duì)應(yīng)一個(gè)初等變換，因?yàn)樽蟪说男问綖镻A（P為初等矩陣），將A寫(xiě)成行向量組的形式，PA意味著對(duì)A做了一次初等行變換；同理，AP意味著對(duì)A做了一次初等列變換，故左乘對(duì)應(yīng)行變換，右乘對(duì)應(yīng)列變換。

　　若AB=E，則稱A為可逆矩陣，B是A的逆陣，同樣，這時(shí)的B也是可逆矩陣，注意可逆矩陣一定是方陣。

　　第一種求逆陣的方法：伴隨陣。這種方法的理論依據(jù)是行列式的按行（列）展開(kāi)。

　　矩陣可逆，行列式不為零，行（列）向量組線性無(wú)關(guān)，滿秩，要注意這些結(jié)論之間的充分必要性。

　　單位陣和初等矩陣都是可逆的。

　 　若矩陣可逆，則一定可以通過(guò)初等變換化為單位陣，這是不難理解的，因?yàn)槌醯染仃嚌M秩，故最后化成的階梯型（最簡(jiǎn)形）中非零行數(shù)目等于行數(shù)，主元數(shù)目等于 列數(shù)，這即是單位陣。進(jìn)一步，既然可逆矩陣可以通過(guò)初等變換化為單位陣，而初等變換對(duì)應(yīng)的是初等矩陣，即意味著：可逆矩陣可以通過(guò)左（右）乘一系列初等矩 陣化為單位陣，換言之可逆矩陣可看作是一系列初等矩陣的乘積，因?yàn)閱挝魂囋诔朔e中可略去。

　　可逆矩陣作為因子不會(huì)改變被乘（無(wú)論左乘右乘）的矩陣的秩。

　　由于可逆矩陣可以看作是一系列初等矩陣的乘積，可以想象，同樣的這一系列初等矩陣作用在單位陣上，結(jié)果是將這個(gè)單位陣變?yōu)樵瓉?lái)矩陣的逆陣，由此引出求逆陣的第二種方法：初等變換。需要注意的是這個(gè)過(guò)程中不能混用行列變換，且同樣是左乘對(duì)應(yīng)行變換，右乘對(duì)應(yīng)列變換。

　　矩陣分塊，即可把矩陣中的某些行和列的元素看作一個(gè)整體，對(duì)這些被看作是整體的對(duì)象構(gòu)成的新的矩陣，運(yùn)算法則仍然適用。將矩陣看成一些列行向量組或列向量組的形式，實(shí)際也就是一種最常見(jiàn)的對(duì)矩陣進(jìn)行分塊的方式。?