線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（二）_跨考網(wǎng)

在利用高斯消元法求解線性方程組的過程中，涉及到一種重要的運(yùn)算，即把某一行的倍數(shù)加到另一行上，也就是說，為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判 斷它有沒有解，有多少解的問題，需要定義這樣的運(yùn)算，這提示我們可以把問題轉(zhuǎn)為直接研究這種對(duì)n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運(yùn)算。

　　數(shù)域上的n元有序數(shù)組稱為n維向量。設(shè)向量a=(a1,a2,...,an)，稱ai是a的第i個(gè)分量。

　　n元有序數(shù)組寫成一行，稱為行向量，同時(shí)它也可以寫為一列，稱為列向量。要注意的是，行向量和列向量沒有本質(zhì)區(qū)別，只是元素的寫法不同。

　　矩陣與向量通過行向量組和列向量組相聯(lián)系。

　　對(duì)給定的向量組，可以定義它的一個(gè)線性組合。線性表出定義的是一個(gè)向量和另外一組向量之間的相互關(guān)系。

　　利用矩陣的列向量組，我們可以把一個(gè)線性方程組有沒有解的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量能否由另外一組向量線性表出的問題。同時(shí)要注意這個(gè)結(jié)論的雙向作用。

　　從簡(jiǎn)單例子（如幾何空間中的三個(gè)向量）可以看到，如果一個(gè)向量a1能由另外兩個(gè)向量a2、a3線性表出，則這三個(gè)向量共面，反之則不共面。為了研究向量個(gè)數(shù)更多時(shí)的類似情況，我們把上述兩種對(duì)向量組的描述進(jìn)行推廣，便可得到線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。

　　通過一些簡(jiǎn)單例子體會(huì)線性相關(guān)和線性無關(guān)（零向量一定線性無關(guān)、單個(gè)非零向量線性無關(guān)、單位向量組線性無關(guān)等等）。

　　從多個(gè)角度（線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度）體會(huì)線性相關(guān)和線性無關(guān)的本質(zhì)。

　　部分組線性相關(guān)，整個(gè)向量組線性相關(guān)。向量組線性無關(guān)，延伸組線性無關(guān)。

　　回到線性方程組的解的問題，即一個(gè)向量b在什么情況下能由另一個(gè)向量組a1,a2,...,an線性表出？如果這個(gè)向量組本身是線性無關(guān)的，可通過分析立即得到答案：b, a1, a2, ..., an線性相關(guān)。如果這個(gè)向量組本身是線性相關(guān)的，則需進(jìn)一步探討。

　　任意一個(gè)向量組，都可以通過依次減少這個(gè)向量組中向量的個(gè)數(shù)找到它的一個(gè)部分組，這個(gè)部分組的特點(diǎn)是：本身線性無關(guān)，從向量組的其余向量中任取一個(gè)進(jìn)去，得到的新的向量組都線性相關(guān)，我們把這種部分組稱作一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組。

　　如果一個(gè)向量組A中的每個(gè)向量都能被另一個(gè)向量組B線性表出，則稱A能被B線性表出。如果A和B能互相線性表出，稱A和B等價(jià)。

　　一個(gè)向量組可能又不止一個(gè)極大線性無關(guān)組，但可以確定的是，向量組和它的極大線性無關(guān)組等價(jià)，同時(shí)由等價(jià)的傳遞性可知，任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組等價(jià)。

　　注意到一個(gè)重要事實(shí)：一個(gè)線性無關(guān)的向量組不能被個(gè)數(shù)比它更少的向量組線性表出。這是不難理解的，例如不共面的三個(gè)向量（對(duì)應(yīng)線性無關(guān)）的確不可能由平面內(nèi)的兩個(gè)向量組成的向量組線性表出。

　　一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相等，我們將這個(gè)數(shù)目r稱為向量組的秩。

　　向量線性無關(guān)的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的數(shù)目。等價(jià)的向量組有相同的秩。

　　有了秩的概念以后，我們可以把線性相關(guān)的向量組用它的極大線性無關(guān)組來替換掉，從而得到線性方程組的有解的充分必要條件：若系數(shù)矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無解。

　　向量組的秩是一個(gè)自然數(shù)，由這個(gè)自然數(shù)就可以判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，由此可見，秩是一個(gè)非常深刻而重要的概念，故有必要進(jìn)一步研究向量組的秩的計(jì)算方法。?