2015年考研數(shù)學(xué)：高數(shù)各章節(jié)復(fù)習(xí)指導(dǎo)與基本公式_跨考網(wǎng)

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　　第一章：函數(shù)與極限

　　第一節(jié)：函數(shù)

　　函數(shù)屬于初等數(shù)學(xué)的預(yù)備知識(shí)，在高數(shù)的學(xué)習(xí)中起到鋪墊作用，直接考察的內(nèi)容比較少，但是如果這章節(jié)有所缺陷對(duì)以后的學(xué)習(xí)都會(huì)有所影響。

　　基礎(chǔ)階段：

　　1.理解函數(shù)的概念，能在實(shí)際問(wèn)題的背景下建立函數(shù)關(guān)系;

　　2.掌握并會(huì)計(jì)算函數(shù)的定義域、值域和解析式;

　　3.了解并會(huì)判斷函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性、奇偶性等性質(zhì);

　　4.理解復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的概念，并會(huì)應(yīng)用它們解決相關(guān)的問(wèn)題;

　　強(qiáng)化階段：

　　1.了解函數(shù)的不同表現(xiàn)形式：顯式表示，隱式表示，參數(shù)式，分段表示;

　　2.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。

　　沖刺階段：

　　1.綜合應(yīng)用函數(shù)解決相關(guān)的問(wèn)題;

　　2.掌握特殊形式的函數(shù)(含極限的函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，變上限積分)，并會(huì)討論它們的相關(guān)性質(zhì)。

　　第二節(jié)：極限

　　極限可以說(shuō)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，極限的計(jì)算也是高等數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算。在考試大綱中明確要求考生熟練掌握的基本技能之一。雖在考試中站的分值不大。但是在其他的試題中得到廣泛應(yīng)用。因此這部分學(xué)習(xí)直接營(yíng)銷到整個(gè)學(xué)科的復(fù)習(xí)結(jié)果

　　基礎(chǔ)階段

　　1.了解極限的概念及其主要的性質(zhì)。

　　2.會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的極限。

　　3.了解無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系，了解無(wú)窮小量的比較方法，記住常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小量。

　　強(qiáng)化階段：

　　1.理解極限的概念，理解函數(shù)左右極限的概念及其與極限的關(guān)系(數(shù)一數(shù)二)/了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念(數(shù)三);

　　▲2.掌握計(jì)算極限的常用方法及理論(極限的性質(zhì)，極限的四則運(yùn)算法則，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限，等價(jià)無(wú)窮小替換，洛必達(dá)法則，泰勒公式);

　　3.會(huì)解決與極限的計(jì)算相關(guān)的問(wèn)題(確定極限中的參數(shù));

　　4.理解無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的概念及相互關(guān)系，會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量的比較，記住常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小量并能在計(jì)算極限時(shí)加以應(yīng)用(數(shù)一數(shù)二)/理解無(wú)窮小量的概念，會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量的比較，記住常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小量并能在計(jì)算極限時(shí)加以應(yīng)用，了解無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系(數(shù)三)。

　　沖刺階段：

　　深入理解極限理論在微積分中的中心地位，理解高等數(shù)學(xué)中其它運(yùn)算(求導(dǎo)，求積分)與極限之間的關(guān)系，建立完整的理論體系。

　　函數(shù)與極限的基本公式與定理

　　1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界;如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。

　　2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。

　　定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界。

　　如果數(shù)列{xn}無(wú)界，那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散;但如果數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

　　定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列{xn}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的;同時(shí)一個(gè)發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

　　3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0時(shí)f(x)有沒(méi)有極限與f(x)在點(diǎn)x0有沒(méi)有定義無(wú)關(guān)。< p="">

　　定理(極限的局部保號(hào)性)如果lim(x→x0)時(shí)f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在著點(diǎn)那么x0的某一去心鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。

　　函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

　　一般的說(shuō)，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

　　4、極限運(yùn)算法則定理有限個(gè)無(wú)窮小之和也是無(wú)窮小;有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小;常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小;有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

　　5、極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對(duì)于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。

　　單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

　　6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。

　　不連續(xù)情形：1、在點(diǎn)x=x0沒(méi)有定義;2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時(shí)則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

　　如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)(左右極限相等者稱可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn))。非第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)(無(wú)窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn))。

　　定理有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

　　定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

　　定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

　　定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)(即f(a)×f(b)<0)，那么在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ< p="">

　　推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

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