2014考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：高數(shù)定理定義匯總_跨考網(wǎng)

　　2014考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：高數(shù)定理定義匯總

　　第一章 函數(shù)與極限

　　1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界;如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。

　　2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。

　　定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界。

　　如果數(shù)列{xn}無界，那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散;但如果數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

　　定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列{xn}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的;同時(shí)一個(gè)發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。

　　3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0時(shí)f(x)有沒有極限與f(x)在點(diǎn)x0有沒有定義無關(guān)。

　　定理(極限的局部保號(hào)性)如果lim(x→x0)時(shí)f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在著點(diǎn)那么x0的某一去心鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。

　　函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

　　一般的說，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

　　4、極限運(yùn)算法則定理有限個(gè)無窮小之和也是無窮小;有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小;常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小;有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

　　5、極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對(duì)于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。

　　單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

　　6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。

　　不連續(xù)情形：1、在點(diǎn)x=x0沒有定義;2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時(shí)則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

　　如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)(左右極限相等者稱可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn))。非第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)(無窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn))。

　　定理有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

　　定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

　　定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

　　定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)(即f(a)×f(b)<0)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

　　推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

　　第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

　　1、導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是在點(diǎn)x0處的左極限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右極限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左導(dǎo)數(shù)f-′(x0)右導(dǎo)數(shù)f+′(x0)存在相等。

　　2、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)=>函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù);函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)≠>在該點(diǎn)可導(dǎo)。即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件而不是充分條件。

　　3、原函數(shù)可導(dǎo)則反函數(shù)也可導(dǎo)，且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

　　4、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微=>函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo);函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)。

　　第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

　　1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

　　2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

　　3、定理(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)在(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

　　4、洛必達(dá)法則應(yīng)用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

　　5、函數(shù)單調(diào)性的判定法設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么：(1)如果在(a，b)內(nèi)f’(x)>0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)增加;(2)如果在(a，b)內(nèi)f’(x)<0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)減少。

　　如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f’(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號(hào)，因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。

　　6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是(a，b)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，如果存在著點(diǎn)x0的一個(gè)去心鄰域，對(duì)于這去心鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。

　　在函數(shù)取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不一定取得極值，即可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn))，但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。

　　定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)為零，即f’(x0)=0.定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x0)=0，那么：(1)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為正;當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為負(fù);當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;(3)如果當(dāng)x取x0左右兩側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為正或恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。

　　定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)當(dāng)f’’(x0)<0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)當(dāng)f’’(x0)>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;駐點(diǎn)有可能是極值點(diǎn)，不是駐點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。

　　7、函數(shù)的凹凸性及其判定設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如果對(duì)任意兩點(diǎn)x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的;如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。

　　定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么(1)若在(a，b)內(nèi)f’’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凹的;(2)若在(a，b)內(nèi)f’’(x)<0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凸的。

　　判斷曲線拐點(diǎn)(凹凸分界點(diǎn))的步驟(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區(qū)間(a，b)內(nèi)的實(shí)根;(3)對(duì)于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根x0，檢查f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，如果f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號(hào)，那么當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)(x0，f(x0))是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn)(x0，f(x0))不是拐點(diǎn)。

　　在做函數(shù)圖形的時(shí)候，如果函數(shù)有間斷點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)也要作為分點(diǎn)。