2018考研數(shù)學(xué)大綱解析之線性代數(shù)命題點

　　一年一度的考研大綱如期而至，你做好準備了嗎?考研大綱的出爐代表著考研已經(jīng)進入到全面復(fù)習(xí)階段。但是同學(xué)們對考研的命題思路有所了解嗎?知道側(cè)重于哪些章節(jié)出題，出什么樣的類型題嗎?下面一起根據(jù)考研大綱來分析下線性代數(shù)的命題思路。

　　首先要明確現(xiàn)代的考題類型為2道選擇、1道填空和2道大題。

　　其次要明確向量空間是數(shù)一比數(shù)二數(shù)三多考的內(nèi)容，那其他題目在設(shè)置上有區(qū)別嗎?答案是，有。這個區(qū)別要看當年數(shù)一的試卷中考不考向量空間的題目，如果考，那三套試卷的題目不一樣，如果不考，則一樣，而向量空間是低頻考點，近15年只考了5道題，也就是說這五年的不一樣，其余10年考的題目都一樣。所以，數(shù)三的難度在向數(shù)一數(shù)二看齊，趨于同難度化。

　　下面分章節(jié)分析出題點：

　　第一章行列式在考研大綱中的考試內(nèi)容為：行列式的概念和基本性質(zhì)、行列式按行(列)展開定理，考試要求為：了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)、會應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開定理計算行列式。

　　行列式是線性代數(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)和運算工具，是出小題的點，數(shù)值型和抽象型計算行列式都有可能，考頻中等。但不要忽視行列式，它可以是大題的一個步驟，比如通過計算方程組系數(shù)矩陣的行列式來分析參數(shù)不同取值下方程組解的情況。所以行列式是基礎(chǔ)。

　　第二章矩陣考試內(nèi)容為：矩陣的概念、矩陣的線性運算、矩陣的乘法、方陣的冪、方陣乘積的行列式、矩陣的轉(zhuǎn)置、逆矩陣的概念和性質(zhì)、矩陣可逆的充分必要條件、伴隨矩陣、矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的秩、矩陣的等價、分塊矩陣及其運算?？荚囈鬄椋豪斫饩仃嚨母拍睿私鈫挝痪仃?、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們的性質(zhì);掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì);理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣;理解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法;了解分塊矩陣及其運算.

　　矩陣也是基礎(chǔ)部分，出小題的點，可能給出矩陣方程來求逆矩陣或伴隨矩陣，初等變換也是出選擇題的點，要會求一個矩陣的逆矩陣，掌握秩的概念并且會求一個矩陣的秩。著重掌握對稱矩陣及正交矩陣的性質(zhì)。

　　第三章向量考試內(nèi)容：向量的概念、向量的線性組合與線性表示、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)、向量組的極大線性無關(guān)組、等價向量組、向量組的秩、向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系、向量空間及其相關(guān)概念(數(shù)一)、維向量空間的基變換和坐標變換(數(shù)一)、過渡矩陣(數(shù)一)向量的內(nèi)積、線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法、規(guī)范正交基、正交矩陣及其性質(zhì)。考試要求：理解向量的線性組合與線性表示的概念;理解向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法;理解向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關(guān)組及秩;理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關(guān)系;了解維向量空間、子空間、基底、維數(shù)、坐標等概念(數(shù)一);了解基變換和坐標變換公式，會求過渡矩陣(數(shù)一);了解內(nèi)積的概念，掌握線性無關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特(Schmidt)方法;了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念以及它們的性質(zhì).

　　從向量這一章開始出大題，向量單獨出大題的概率很低，但它可以和方程組結(jié)合出題。這一章重點掌握向量的線性表出、線性相關(guān)和線性無關(guān)與秩、矩陣和行列式的關(guān)系，要會證明一個向量組無關(guān)。

　　第四章線性方程組考試內(nèi)容：線性方程組的克拉默(Cramer)法則、齊次線性方程組有非零解的充分必要條件、非齊次線性方程組有解的充分必要條件、線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解、解空間、非齊次線性方程組的通解?？荚囈螅簳每死▌t;理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件;理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法;理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念;掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。

　　線性方程組是線性代數(shù)的核心章節(jié)，近15年有14年都考了方程組的一道大題，所以方程組是我們復(fù)習(xí)的重點。考題中不會只給出一個其次或非齊次的方程去求解，這樣有些太簡單了。在考題中會設(shè)置障礙來增加難度，比如系數(shù)矩陣中含有參數(shù)，比如給出一個方程組的解，去求相關(guān)方程組的解，或者近幾年將矩陣的問題轉(zhuǎn)化成方程組去解答等。對于同解和公共解掌握基本的題型和方法就好，考頻低。

　　第五章矩陣的特征值和特征向量考試內(nèi)容：矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)，相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)、矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣、實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣?？荚囈螅豪斫饩仃嚨奶卣髦岛吞卣飨蛄康母拍罴靶再|(zhì)，會求矩陣的特征值和特征向量、理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法、掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)。

　　這一章開始是第二個出大題的點，可能單獨出題，也可能和二次型結(jié)合出題。要會計算矩陣的特征值和特征向量，知道它們和方程組和秩的關(guān)系，要會判定一個矩陣是否能相似對角化，如果能，要會求對角矩陣和P矩陣。實對稱矩陣可以用正交矩陣相似對角化，在求Q矩陣時先求出特征向量，再進行正交化和單位化。

　　第六章二次型考試內(nèi)容：二次型及其矩陣表示、合同變換與合同矩陣、二次型的秩、慣性定理、二次型的標準形和規(guī)范形、用正交變換和配方法化二次型為標準形、二次型及其矩陣的正定性?？荚囈螅赫莆斩涡图捌渚仃嚤硎?，了解二次型秩的概念，了解合同變換與合同矩陣的概念，了解二次型的標準形、規(guī)范形的概念以及慣性定理，掌握用正交變換化二次型為標準形的方法，會用配方法化二次型為標準形，理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法。

　　第六章作為同樣出大題的點，要掌握正交變化法將二次型化成標準型，會求C矩陣，求它們的重點是理解正交變換法將二次型化成標準型與正交矩陣的相似對角化的聯(lián)系。掌握矩陣合同的充要條件，正定的定義，會證明矩陣正定。

　　以上是結(jié)合考研大綱對各章命題點的分析，同學(xué)們在做真題的過程中要注重總結(jié)題型和方法，反復(fù)做真題，一定會有預(yù)期的收獲，加油!

　(跨考教育數(shù)學(xué)教研室  高楊  轉(zhuǎn)載請注明出處)